2019年上半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（高级中学）

注意事项：

考试时间为120分钟，满分为150分．
请按规定在答题卡上填涂作答，在试卷上作答无效，不予评分．

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

在每小题列出的四个备选中只有一个是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案字母按要求涂黑．错选、多选或未选均无分．

下列选项中，运算结果一定是无理数的是

A. 有理数与无理数的和． B. 有理数与有理数的差． C. 无理数与无理数的和． D. 无理数与无理数的差．

在空间直角坐标系中，由参数方程
$\left\{\begin{aligned} x&=a\cos^2t\\ y&=a\sin^2t\\ z&=a\sin{2t} \end{aligned}~~(0\le t\le 2\pi) \right.$
所确定曲线的一般方程是

$\left\{\begin{aligned} &x+y=a\\ &z^2=2xy \end{aligned} \right.$
$\left\{\begin{aligned} &x+y=a\\ &z^2=4xy \end{aligned} \right.$
$\left\{\begin{aligned} &x^2+y^2=a^2\\ &z^2=2xy \end{aligned} \right.$
$\left\{\begin{aligned} &x^2+y^2=a^2\\ &z^2=4xy \end{aligned} \right.$

已知空间直角坐标系与球坐标系的变化公式为
$\left\{\begin{aligned} x&=\rho\cos\theta\cos\varphi\\ y&=\rho\cos\theta\sin\varphi\\ z&=\rho\sin\theta \end{aligned}~~~(\rho\ge0,-\pi<\varphi<\pi,-\frac{\pi}{2}\le \theta\le\frac{\pi}{2}) \right.$
$\theta=\frac{\pi}{3}$ 表示的图形是

A. 柱面 B. 圆面 C. 半平面 D. 半锥面

$A$ $n$ $B$ $A$ 经过若干次初等行变换后得到的矩阵，则下列结论正确的是

$|A|=|B|$ $|A|\ne |B|$ $|A|=0$ $|B|=0$ $|A|>0$ $|B|>0$

$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\limits(-1)^{n-1}\frac{1}{(2n-1)!}(\pi x)^{2n-1}$ $f(1)=$

$-1$ $0$ $1$ $\pi$

若矩阵
$A=\begin{pmatrix}1&-1&1\\x&4&y\\-3&-3&5\end{pmatrix}$
$\lambda=2$ $A$ 的二重特征根，则

$x=-2,~~y=2$ $x=1,~~y=-1$ $x=2,~~y=2$ $x=-1,~~y=1$

下列表述属于数学直观想象素养的是

① 利用图形描述、分析数学问题
② 借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化和运动规律
③ 经历形与数的关系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路
④ 在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④

下列描述为演绎推理的是．

A. 从一般到特殊的推理 B. 从特殊到一般的推理 C. 通过实验验证结论的推理 D. 通过观察猜想得到结论的推理

二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）

一次实践活动中，某班甲、乙两个小组各20名同学在综合实践基地脱玉米粒，一天内每人完成脱粒数量（千克）的数据如下：

甲组： 57, 59, 63, 63, 64, 71, 71, 71, 72, 75, 75, 78, 79, 82, 83, 83, 85, 86, 86, 89.

乙组： 50, 53, 57, 62, 62, 63, 65, 65, 67, 68, 69, 73, 76, 77, 78, 85, 85, 88, 94, 96.

问题：

(1) 分别计算甲、乙两组同学脱粒数量（千克）的中位数；（2分）
(2) 比较甲、乙两组数据，请你给出2种信息，并说明实际意义．（5分）

在空间直角坐标系下，试判定直线
$l_1:\left\{\begin{aligned}&x+y+1=0\\&x+2y+z+2=0\end{aligned}\right.$
与直线
$l_2:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{1}$
的位置关系，并求这两条直线间的距离．
在平面直角坐标系下，

$P_1(0,1),~P_2(1,3),~P_3(-1,3),~P_4(2,15)$ ，求该三次多项式函数的表达式；
$P_i(x_i,y_i)~(i=1,2,\dots,n)$ $x_1<x_2<\dots<x_n$ $n$ $n$ 个点所唯一确定的多项式函数的最高次数是多少？简要说明理由．（5分）

高中数学课程是培养公民素质的基础性课程，简述“基础性”的含义，并举例说明．
评价学生的数学学习应该采用多样化的方式，请列举四种不同类型的评价方式．

三、解答题（本大题1小题，10分）

$\mathbb{R}^2$ $F$ $\mathbb{R}^2$ $\mathbb{R}^2$ $\rho(0<\rho<1)$ $P,Q\in \mathbb{R}^2$ $d(F(P),F(Q))\le\rho d(P,Q)$ $d(P,Q)$ $P,Q$ $F$ 是压缩映射．设映射
$T:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2,~T((x,y))=\left(\frac{1}{2}x,\frac{1}{3}y\right),~\forall(x,y)\in \mathbb{R}^2.$

$T$ 是压缩映射．
$P_0=P_0(x_0,y_0)$ $\mathbb{R}^2$ $P_n=T(P_{n-1}),~n=1,2,\dots$ $n\rightarrow\infty$ $\{P_n\}$ $\lim_{n\rightarrow\infty}\limits P_n$

四、论述题（本大题1小题，15分）

函数是中学数学课程的主线，请结合实例谈谈如何利用函数的观点来认识中学数学课程中的方程、不等式、数列的内容．

五、案例分析题（本大题1小题，20分），阅读案例并回答问题．

案例：下面提供的案例是教师A和教师B在《方程的根与函数的零点》教学中的“课堂提问”．

教学环节	教师A	教师B
概念的引入	$\ln x+2x-6=0$ 是否有实数根？ 2. 在初中你是如何判断一个方程是否有实数根的？ 3. 函数与方程之间有什么关系？	$x$ 轴交点之间有何关系吗？
概念的学习	4. 怎样定义函数的零点？ 5. 函数的零点是点吗？	$f(x)=-x^2-2x+3$ 的零点是什么？ 4. 根据下列函数的图像，判断函数有几个零点？
概念的意义	6. 零点的几何意义是什么？	5. 函数零点的几何意义是什么？
零点存在性定理的引入	7. 根据函数图像判断满足什么条件时函数有零点？	$f(x)=-x^2-2x+3$ $[-4,-2]$ $f(-4)$ $f(-2)$ $[0,2]$ 是否也有具有这种特点？
零点存在性定理的学习	$y=f(x)$ $[a,b]$ $f(a)f(b)<0$ $y=f(x)$ $(a,b)$ $c\in(a,b)$ $f(c)=0$ $c$ $f(x)=0$ 的根．） 8. 满足定理条件的函数零点是唯一的吗？ 9. 满足什么条件零点唯一？依据是什么？	$y=f(x)$ $[a,b]$ $f(a)f(b)<0$ $y=f(x)$ $(a,b)$ $c\in(a,b)$ $f(c)=0$ $c$ $f(x)=0$ 的根．） $y=f(x)$ $(a,b)$ $f(a)f(b)<0$ $[a,b]$ $f(a)f(b)<0$ $(a,b)$ 内零点只有一个?
例题及练习小结	（略）	（略）

(1) 请对两位教师的课堂提问进行评价，并简述理由． (2) 请对两位教师“概念的引入”环节的课堂提问给出改进建议．

六、教学设计题（本大题1小题，30分）

“简单随机抽样（第一课时）”的教学目标设计如下：

目标一：学会从现实生活和其他学科中，提出具有一定价值的统计问题，理解随机抽样的必要性；
目标二：结合具体的实际问题情境，体会简单随机抽样的重要性；
目标三：以“问题性”的形式理解样本是否具有代表性．

要求： (1) 请针对上述教学目标，完成下列任务：

① 根据教学目标一，设计两个问题，并说明设计意图； ② 根据教学目标二，给出一个实例，并说明设计意图； ③ 根据教学目标三，设计“问题链”（至少包含两个问题），并说明设计意图．

(2) 请针对“简单随机抽样”的内容，回答下列问题：

① 这节课的教学重点是什么？ ② 作为高中阶段“统计”学习的起始课，其难点是什么？ ③ 这节课对后续哪些课程内容的学习有直接影响？

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